單位元
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單位元（unit element[1]）也称恒等元（identity element）、中立元（neutral element）、恒元，是集合裏的一種特殊元素，與該集合裏的二元運算有關。單位元和其他元素結合時，並不會改變那些元素。單位元在群和其他相關概念中都有使用。
設為一帶有一二元運算的集合（稱為原群）。若內有一元素對S內所有元素a满足，則被稱為左單位元；若满足，则稱為右單位元。而若同時為左單位元及右單位元，則稱為雙邊單位元，又簡稱為單位元。
對應加法的單位元稱為加法單位元（通常被標為0），而對應乘法的單位元則稱為乘法單位元（通常被標為1）。這一區分大多被用在有兩個二元運算的集合上，比如環。
例子[编辑]
集合 運算 單位元 實數 +（加法） 0 實數 ·（乘法） 1 實數 （乘方） 1（只為右單位元） 複數 +（加法） 0 複數 ·（乘法） 1 矩陣 +（加法） 零矩陣 方陣 ·（乘法） 單位矩陣 所有從集合M映射至其自身的函數 （函數複合） 單位函數 所有從集合M映射至其自身的函數 （摺積） （狄拉克δ函數） 字串 串接 空字元串 擴展的實數軸 最大值 擴展的實數軸 最小值 集合M的子集 （交集） M 集合 （聯集） （空集） 布爾邏輯 （邏輯與） ⊤（真值） 布爾邏輯 （邏輯或） ⊥（假值） 閉二維流形 #（連通和） 只兩個元素 * 定義為
且和都是左單位元，但不存在右單位元和雙邊單位元
如最後一個例子所示，有多個左單位元是可能的，且事實上，每一個元素都可以是左單位元。同樣地，右單位元也一樣。但若同時存在有右單位元和左單位元，則它們會相同，且仅存在一個雙邊單位元。要證明這個，設為左單位元且為右單位元，則。特別的，不存在兩個以上的單位元。若有兩個單位元和，則必同時等於和。
一個代數也可能沒有單位元。最常见的例子為向量的內積和外積。前者缺乏單位元的原因在於，相乘的兩個元素都會是向量，但乘積卻會是個純量。而外積缺乏單位元的原因則在於，任一非零外積的方向必和相乘的兩個向量相正交，因此不可能得出一個和原向量指向同方向的外積向量。
参考[编辑]
另見[编辑]
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