歐拉線

歐拉線

在平面幾何中，歐拉線，或稱尤拉線（圖中的紅線）是指過三角形的垂心（藍）、外心（綠）、重心（黃）和九點圓圓心（紅點）的一條直線。萊昂哈德·歐拉，也稱尤拉，證明了在任意三角形中，以上四點共線。歐拉線上的四點中，九點圓圓心到垂心和外心的距離相等，而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。注意內心一般不在歐拉線上，除了等腰三角形外。

證明

如圖$H,G,O$分別是${\triangle }ABC$的垂心，重心，外心。

設$D$為直線$BO$和${\triangle }ABC$外接圓的交點，並連結$AH,AD,CD,CH$。

（1） ${\because \quad }BD$是直徑，${\therefore \quad }CD{\perp }BC$且$AD{\perp }AB$。

又$H$是垂心，${\therefore \quad }AH{\perp }BC$且$CH{\perp }AB$。

${\therefore \quad }CD//AH$，$AD//CH$。

$ADCH$為平行四邊形。

->$AH=DC$

又$O,\;M$分別是$BD,\;CB$的中點，

${\therefore \quad }DC=2OM$， $AH=2OM$

（2） 作$BC$邊上的中線$AM,$連結$OM,\;OH$

設$OH$交$AM$於點$G'$

${\because \quad }OM{\perp }BC,\;{\triangle }AHG'{\sim \triangle }MOG',\;AH=DC=2OM$，

${\therefore \quad }AG'=2G'M$，

${\therefore \quad }G'$即$\triangle ABC$的重心$G$

$\therefore \quad \triangle ABC$的垂心$H,$重心$G,$外心$O$三點共線$,$直線$HGO$即歐拉線

推論

九點圓的圓心也在歐拉線上，且在垂心到外心的線段的中點

如圖，H、G、Ω分別是△ABC的垂心、重心、外心，三角形的三邊中點I _i，三高的垂足H_i，和頂點到垂心的三條線段的中點J _i

令HΩ和J₁I₁的交點為K，∵BΩ=CΩ，BI₁=CI₁，∴ΩI₁⊥BC，又∵AH₁⊥BC，∴ΩI₁∥AH₁。

∵∠GΩI₁=∠AHG，∠GAH=∠GI₁Ω，∴△AGH∽△GΩI₁。∵AG=2GI₁，∴AH=2ΩI₁，即ΩI₁=J₁H。

∵ΩI₁∥AH₁， J₁H=ΩI₁ ∴J₁K=KI₁, HK = KΩ。

同理J₂K=KI₂， J₃K=KI₃。 可知K為九點圓圓心。

∵點K在HΩ上，HK = KΩ

∴九點圓圓心在歐拉線上，且在垂心到外心的線段的中點。

參考資料

1. 数学题解辞典·平面几何. 上海辭書出版社. 

外部連結

• Altitudes and the Euler Line （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Euler Line and 9-Point Circle （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）